[Toán nâng cao lớp 5] - Tư duy bài toán tính nhanh phân số

Ngày đăng: 26/10/2020

Trong chương trình toán 5, các dạng bài tập về tính nhanh luôn là các dạng bài tập hay và khó. Các con không chỉ cần nắm được quy tắc tính toán cơ bản mà còn cần có những kĩ năng quan sát, vận dụng linh hoạt các tính chất của bốn phép toán. Để giúp các con chinh phục những bài toán khó này, thầy Nguyễn Thành Long - một trong những giáo viên hàng đầu của Hệ thống giáo dục Vinastudy chúng tôi xin gửi đến quí PHHS và các con học sinh thân yêu bài giảng “Tư duy bài toán tính nhanh phân số” này. Mong rằng video sẽ giúp các con có thêm những kiến thức bổ ích.

1. Kiến thức cần nhớ.
2. Cộng trừ các phân số cùng mẫu số:

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số cùng mẫu số, ta cộng (hoặc trừ) hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ. $frac{5}{6}+frac{8}{6}=frac{13}{6}$

Lưu ý. Sau khi làm phép tính cộng (hoặc trừ) hai phân số, nếu chưa thu được phân số tối giản thì ta phải rút gọn thành phân số tối giản.

1. Cộng trừ các phân số khác mẫu số:

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số, ta phải quy đồng hai phân số đó rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng.

Ví dụ. $frac{1}{6}+frac{2}{5}=frac{5}{30}+frac{12}{30}=frac{17}{30}$

1. Tính chất của phép cộng phân số.

- Tính chất giao hoán. Khi đổi chỗ các phân số trong một tổng thì tổng của chúng không thay đổi.

Ví dụ. $frac{5}{6}+frac{8}{6}=frac{8}{6}+frac{5}{6}$

- Tính chất kết hợp. Khi cộng một tổng hai phân số với phân số thứ ba thì ta có thể cộng phân số thứ nhất với tổng hai phân số còn lại.

Ví dụ. $frac{5}{6}+left( frac{1}{6}+frac{11}{6} right)=left( frac{5}{6}+frac{1}{6} right)+frac{11}{6}=1+frac{11}{6}=frac{17}{6}$

- Cộng với 0. Phân số nào cộng với 0 cũng chính bằng phân số đó.

Ví dụ. $frac{5}{6}+0=frac{5}{6}$

Lưu ý. Ta thường áp dụng các tính chất của phép cộng phân số trong các bài tính nhanh.

1. Phép nhân phân số.

Quy tắc: Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số. Trong trường hợp có thừa số là số tự nhiên, ta nhân số tự nhiên đó với tử số của phân số và giữ nguyên mẫu số.

Chú ý. Trước khi tính, có thể rút gọn phân số (nếu cần)

Ví dụ $frac{5}{6}times 7=frac{5times 7}{6}=frac{35}{6}$

1. Tính chất của phép nhân phân số.

- Tính chất giao hoán. Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi.

Ví dụ. $frac{5}{6}times frac{8}{6}=frac{8}{6}times frac{5}{6}$

- Tính chất kết hợp. Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba thì ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích hai phân số còn lại.

Ví dụ. $frac{5}{6}times left( frac{6}{10}times frac{11}{6} right)=left( frac{5}{6}times frac{6}{10} right)times frac{11}{6}=frac{1}{2}times frac{11}{6}=frac{11}{12}$

- Nhân với 0. Phân số nào cộng với 0 cũng chính bằng 0.

Ví dụ. $frac{5}{6}times 0=0$

Lưu ý. Ta thường áp dụng các tính chất của phép cộng phân số trong các bài tính nhanh.

1. So sánh hai phân số.

- So sánh hai phân số cùng mẫu số:

• Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn
• Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
• Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

- So sánh hai phân số khác mẫu số: ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của chúng.

1. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính nhanh.

$text{A}=frac{1}{1times 2}+frac{1}{2times 3}+...+frac{1}{99times 100}$

Phân tích.

1. Tử số đều bằng 1.
2. Hiệu hai thừa số ở dưới mẫu = 1 = Tử số

Ta có: $frac{1}{1times 2}=frac{2-1}{1times 2}=frac{2}{1times 2}-frac{1}{1times 2}=frac{1}{1}-frac{1}{2}$

$frac{1}{2times 3}=frac{3-2}{2times 3}=frac{3}{2times 3}-frac{2}{2times 3}=frac{1}{2}-frac{1}{3}$

$frac{1}{99times 100}=frac{100-99}{99times 100}=frac{100}{99times 100}-frac{99}{99times 100}=frac{1}{99}-frac{1}{100}$

Vậy: [text{A}=1-frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+...+frac{1}{99}-frac{1}{100}]

$text{A}=1-frac{1}{100}=frac{99}{100}$

Chú ý: Hiệu hai thừa số dưới mẫu bằng tử số: $frac{b-a}{atimes b}=frac{1}{a}-frac{1}{b}$

Ví dụ 2. Tính nhanh.

$text{B}=frac{1}{1times 4}+frac{1}{4times 7}+frac{1}{7times 10}+...+frac{1}{97times 100}$

Phân tích.

1. Tử số đều bằng 1.
2. Mẫu số = tích hai thừa số

Hiệu hai thừa số ở dưới mẫu = 3

$to $ Vấn đề. Tử số khác hiệu 2 thừa số dưới mẫu

$to $ Giải pháp. Tử số bằng hiệu 2 thừa số dưới mẫu

$to $ Làm thế nào?

$3times text{B}=3left( frac{1}{1times 4}+frac{1}{4times 7}+frac{1}{7times 10}+...+frac{1}{97times 100} right)$

$text{B}=frac{3}{1times 4}+frac{3}{4times 7}+frac{3}{7times 10}+...+frac{3}{97times 100}$

Vậy: [text{B}=1-frac{1}{4}+frac{1}{4}-frac{1}{7}+...+frac{1}{97}-frac{1}{100}]

$3times text{B}=1-frac{1}{100}=frac{99}{100}$ nên $text{B}=frac{33}{100}$

Dạng toán mở rộng:

Ví dụ 1. Tính tổng: $text{C}=frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32}+frac{1}{64}+frac{1}{128}$

Phân tích.

1. Tử số đều bằng 1.
2. Mẫu số của phân số đứng sau gấp 2 lần mẫu số phân số đứng trước

Ta có: $frac{1}{4}=frac{2-1}{4}=frac{2}{4}-frac{1}{4}=frac{1}{2}-frac{1}{4}$;

$frac{1}{8}=frac{2-1}{8}=frac{2}{8}-frac{1}{8}=frac{1}{4}-frac{1}{8}$

Tương tự như thế:

$frac{1}{16}=frac{1}{8}-frac{1}{16}$

$frac{1}{32}=frac{1}{16}-frac{1}{32}$

$frac{1}{64}=frac{1}{32}-frac{1}{64}$

$frac{1}{128}=frac{1}{64}-frac{1}{128}$

Vậy $text{C}=frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{4}+frac{1}{4}-frac{1}{8}+frac{1}{8}-frac{1}{16}+frac{1}{16}-frac{1}{32}+frac{1}{32}-frac{1}{64}+frac{1}{64}-frac{1}{128}$

$text{C}=1-frac{1}{128}=frac{127}{128}$

Vậy $text{C}=frac{127}{128}$

1. Kiến thức cần nhớ.

Bài 1. Tính nhanh:

1. a) [text{A}=frac{2}{1times 2}+frac{2}{2times 3}+frac{2}{3times 4}+...+frac{2}{99times 100}]
2. b) [text{B}=frac{3}{3times 5}+frac{3}{5times 7}+frac{3}{7times 9}+...+frac{3}{49times 50}]
3. c) [text{C}=frac{1}{10}+frac{1}{40}+frac{1}{88}+frac{1}{154}+frac{1}{238}+frac{1}{340}]
4. d) [text{D}=frac{5}{6}+frac{11}{12}+frac{19}{20}+frac{41}{42}+frac{55}{56}+frac{89}{90}]

Bài 2. So sánh S với 2, biết:

$S=1+frac{1}{3}+frac{1}{6}+frac{1}{10}+frac{1}{15}+...+frac{1}{45}$

Bài 3. Tính nhanh.

$frac{1}{1+2}+frac{1}{1+2+3}+frac{1}{1+2+3+4}+...+frac{1}{1+2+3+...+50}$

Để giúp học sinh củng cố và mở rộng kiến thức về các phép toán, VinaStudy đã xây dựng một số bài giảng, bài thi thử như:

So sánh phân số

Ôn tập về phép cộng và phép trừ phân số

Ôn tập về phép nhân và phép chia hai phân số

Hỗn số

Ngoài ra, học sinh và phụ huynh có thể tham khảo thêm các chương trình học phù hợp với năng lực của từng con:

Các môn học lớp 5

Các khóa học Toán lớp 5

Khóa học Toán cơ bản lớp 5

Khóa học Toán nâng cao lớp 5

Khóa ôn và luyện Toán lớp 5 học kì I

Các dạng bài trọng tâm và nâng cao luyện thi Violympic Toán 5

15 đề luyện Violympic quốc gia Toán 5

Trạng Nguyên nhí lớp 5

Hệ thống giáo dục Vinastudy.vn chúc các con học tốt!!!

Tác giả: Vinastudy

Cộng đồng zalo giải đáo bài tập

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé

Con sinh năm 2009 https://zalo.me/g/cieyke829 Con sinh năm 2010 https://zalo.me/g/seyfiw173 Con sinh năm 2011 https://zalo.me/g/jldjoj592 Con sinh năm 2012 https://zalo.me/g/ormbwj717 Con sinh năm 2013 https://zalo.me/g/lxfwgf190 Con sinh năm 2014 https://zalo.me/g/bmlfsd967 Con sinh năm 2015 https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/