Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc cung cấp các em lý thuyết cơ bản cùng các bài tập cụ thể nhằm giúp các em nắm vững và áp dụng vào giải các dạng bài tập liên quan.
Hai đường thẳng được cho là vuông góc với nhau khi chỉ số a x a’= -1. Khi đó, chúng gặp nhau và tạo thành 1 góc 90 độ. Trường hợp song song là khi chỉ số a = a’ và b ≠ b’, trong trường hợp này thì 2 đường thẳng không có điểm chung và không giao nhau tại 1 số thời điểm. Khi chỉ số a ≠ a’ sẽ dẫn đến trường hợp 2 đường thẳng giao nhau. Trùng nhau ở trường hợp a = a’. Cụ thể như nội dung dưới đây:
A. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ((d):y = ax + b) và ((d'):y = a'x + b') với (a;a' neq 0).
Hai đường thẳng trùng nhau khi nào?
Hai đường thẳng song song với nhau khi nào?
Hai đường thẳng cắt nhau khi nào?
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi nào?
B. Ví dụ hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc
Ví dụ: Tìm các đường thẳng song song, vuông góc và cắt nhau:
a) (y = 2x + 1) b) (y = - 3x + 2 + sqrt{2}) c) (y = 2x - 2 + sqrt{7}) d) (y = 3 - sqrt{2} + 2x) e) (y = frac{1}{3}x + 5) f) (y = - frac{1}{2}x + 100)Hướng dẫn giải
Các đường thẳng song song với nhau là:
(y = 2x + 1;y = 3 - sqrt{2} + 2x;y = 2x - 2 + sqrt{7})
Đường thẳng (y = - frac{1}{2}x + 100) vuông góc với các đường thẳng:
(y = 2x + 1;y = 3 - sqrt{2} + 2x;y = 2x - 2 + sqrt{7})
Đường thẳng (y = - 3x + 2 + sqrt{2}) vuông góc với đường thẳng (y = frac{1}{3}x + 5).
Ta có:
Đường thẳng (y = 2x + 1) cắt các đường thẳng:
(y = - 3x + 2 + sqrt{2};y = frac{1}{3}x + 5;y = - frac{1}{2}x + 100).
Đường thẳng (y = - 3x + 2 + sqrt{2}) cắt các đường thẳng:
(y = 2x - 2 + sqrt{7};y = 3 - sqrt{2} + 2x;y = frac{1}{3}x + 5;y = - frac{1}{2}x + 100).
Đường thẳng (y = 2x - 2 + sqrt{7}) cắt các đường thẳng (y = frac{1}{3}x + 5;y = - frac{1}{2}x + 100).
Ví dụ: Cho hàm số (y = (m + 2)x - 2 (d)):
a) Tìm m để (d) song song với (left( d_{1} right):y = 2x + 3).
b) Tìm m để (d) vuông góc với (left( d_{2} right):y = - 3x - 2).
c) Tìm m để (d) cắt nhau với (left( d_{3} right):y = - x + 3).
Hướng dẫn giải
a) Để (d) song song với (left( d_{1} right):y = 2x + 3) thì:
(left{ begin{matrix} a = a' b neq b' end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m + 2 = 2 - 2 neq 3 end{matrix} right. Leftrightarrow m = 0).
Vậy m = 0 thì hai đường thẳng song song.
b) Để (d) vuông góc với (left( d_{2} right):y = - 3x - 2) thì
(a.a' = - 1 Leftrightarrow (m + 2).( - 3) = - 1 Leftrightarrow m = - frac{5}{3})
c) Để (d) cắt nhau với (left( d_{3} right):y = - x + 3) thì
(Leftrightarrow a neq a' Leftrightarrow m + 2 neq - 1 Leftrightarrow m neq - 3).
Vậy (m neq - 3) thì hai đường thẳng cắt nhau.
Ví dụ: Cho hàm số (y = (3 - 3m)x + 5m - 2 (d)):
a) Tìm m để (d) là hàm số bậc nhất.
b) Tìm m để (d) là hàm số nghịch biến.
c) Tìm m để (d) song song với (left( d_{1} right):y = - 2x - 4).
d) Tìm m để (d) vuông góc với (left( d_{2} right):y = 1 - frac{1}{2}x).
e) Tìm m để (d) cắt nhau với (left( d_{3} right):y = - frac{2}{3}x + 1).
Hướng dẫn giải
a) Để (d) là hàm số bậc nhất thì (3 - 3m neq 0 Rightarrow m neq 1).
b) Để (d) là hàm số nghịch biến thì (3 - 3m < 0 Rightarrow m > 1).
c) Để (d) song song với (left( d_{1} right):y = - 2x - 4) thì
(begin{matrix} left{ begin{matrix} a = a' b neq b' end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} 3 - 3m = - 2 5m - 2 neq - 4 end{matrix} right. end{matrix})(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m = frac{5}{3} m neq - frac{2}{5} end{matrix} right. Rightarrow m = frac{5}{3} )
d) Để (d) vuông góc với (left( d_{2} right):y = 1 - frac{1}{2}x) thì
(a.a' = - 1 Leftrightarrow (3 - 3m).left( - frac{1}{2} right) = - 1 Leftrightarrow m = frac{1}{3})
e) Để (d) cắt nhau với (left( d_{3} right):y = - frac{2}{3}x + 1) thì
(Leftrightarrow a neq a' Leftrightarrow 3 - 3m neq - frac{2}{3} Leftrightarrow m neq frac{11}{9}).
Ví dụ: Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4:
a) Song song
b) Vuông góc.
Hướng dẫn giải:
a) y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4 song song
⇔ m + 1 = 2m - 1
⇔ m = 2.
Vậy m = 2.
b) y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4 vuông góc
⇔ (m + 1)(2m - 1) = -1
⇔ 2m2 + m - 1 = -1
⇔ 2m2 + m = 0
⇔ m(2m + 1) = 0
(Leftrightarrow left[ begin{gathered} m = 0 hfill 2m + 1 = 0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} m = 0 hfill m = - frac{1}{2} hfill end{gathered} right.)
Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông góc.
Ví dụ:
a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.
b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 và đi qua A(2; -1).
Hướng dẫn giải:
a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b.
(d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 ⇒ a = 2.
(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 ⇒ b = 4.
Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x + 4.
b) Gọi đường thẳng cần tìm là (d’): y = kx + m
(d) vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 ⇔ k. 1/3 = -1 ⇔ k = -3.
(d) đi qua A(2; -1) ⇔ -1 = 2k + m = 2.(-3) + m ⇔ m = 5.
Vậy đường thẳng cần tìm là y = -3x + 5.
C. Bài tập trắc nghiệm hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc
Bài 1: Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 và y = 2x - 1 :
A. Song song
B. Vuông góc
C. Cắt nhau
D. Trùng nhau.
Lời giải:
Đáp án: A
Bài 2: Đường thẳng y = 2x + 1 vuông góc với đường thẳng nào dưới đây ?
A. y = 2x + 3
B. y = -2x + 3
C. y = 1/2x
D. y= -1/2x
Lời giải:
Đáp án: D
Bài 3: Đường thẳng y = (2m - 3)x + 1 và đường thẳng y = -x + 3 song song nhau thì giá trị của m là :
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
Lời giải:
Đáp án: C
Bài 4: Hai đường thẳng y = (m - 2)x + 3 và y = mx - 1 vuông góc với nhau thì giá trị của m là :
A. m = 0
B. m = 1
C. m = 2
D. m = 3.
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 5: Hàm số có đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua điểm A(-1 ; 2) là :
A. y = 2x + 4
B. y = -2x.
C. y = -1/2x + 3/2
D. y = -1/2x - 3/2 .
Lời giải:
Đáp án: C
Bài tập tự luận hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc
Bài 1: Tính góc tạo bởi hai đường thẳng y = -3x + 1 và y = 1/3x.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng (d1) : y = -3x + 1 có hệ số góc k1 = -3
Đường thẳng (d2) : y = 1/3x có hệ số góc k2 = 1/3 .
Ta có : k1. k2 = -1
⇒ (d1) ⊥ (d2).
Hay góc tạo bởi (d1) và (d2) là 90o.
Bài 2: Cho hai đường thẳng (d1) y = (2 - m2)x + m - 5 và (d2) y = mx + 3m - 7.
a) Tìm m để d1 // d2.
b) Có giá trị nào của m để d1 và d2 trùng nhau không ?
Hướng dẫn giải:
a) d1 // d2
⇔ m = -2.
b) d1 và d2 trùng nhau
⇔ m = 1.
Bài 3: Cho đường thẳng (d) : y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d’ đi qua M(-1 ; 2) và vuông góc với d.
Hướng dẫn giải:
Gọi đường thẳng cần tìm là y = kx + m
(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.(-2) = -1 ⇔ k = 1/2 .
(d’) đi qua M(-1; 2) ⇔ 2 = k.(-1) + m hay m = 2 + k = 5/2 .
Vậy đường thẳng cần tìm là y = 1/2x + 5/2 .
Bài 4: Cho đường thẳng (d) : y = 2x + 1 và điểm M(1 ; 1). Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng (d).
Hướng dẫn giải:
+ Tìm đường thẳng d’: y = kx + m qua M và vuông góc với d:
(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.2 = -1 ⇔ k = -1/2 .
(d’) đi qua M(1; 1) ⇔ ⇔ m = 1/2 .
Vậy d’: y = -1/2x + 1/2 .
+ Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d’.
Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình:
2x +1 = -1/2x + 1/2 ⇔ x = -1/5 ⇒ y = 3/5 .
Vậy hình chiếu của M trên d là H (-1/5; 3/5).
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = (5 - k).x + (4 - m). Tìm m, k để đồ thị của hai hàm số
a, Trùng nhau
b, Song song với nhau
c, Cắt nhau
Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Tìm m để đồ thị hàm số:
a, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân
b, Cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên Oy
c, Cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên Ox
Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 1)x + 2 và (d2): y = 2x + 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấu
Bài 4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = (m - 2)x + m + 3 và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 và y = 2x - 1 đồng quy
Bài 5: Cho hàm số y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2l - 3. Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là:
a, Hai đường thẳng cắt nhau
b, Hai đường thẳng song song với nhau
c, Hai đường thẳng trùng nhau
Bài 6: Cho hàm số y = mx + 4 và y = (2m - 3)x - 2. Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:
a, Hai đường thẳng song song với nhau
b, Hai đường thẳng cắt nhau
c, Hai đường thẳng trùng nhau
d, Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung
Bài 7: Cho hai hàm số y = 2x + m - 3 và y = 5x + 5 - 3m. Tìm m để đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Bài 8: Cho hai hàm số y = (m - 1)x + 3 và y = (3 - m)x + 1
a, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm só là hai đường thẳng song song với nhau
b, Với giá trị nào của m thì đồ thị của 2 hàm số là hai đường thẳng cắt nhau
Bài 9: Cho hàm số y = mx - 2 (m khác 0). Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.
Bài 10: Cho hàm số y = x + m. Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng x - y + 3 = 0
