Loại 1: Dãy phân số có quy luật mẫu số sau gấp mẫu số trước một số không đổi
Phương pháp giải
Giả sử biểu thức cần tìm là A. Các phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu số của phân số trước n lần.
Bước 1: Tính A x n
Bước 2: Tính A x n - A
Ví dụ 1:
Tính giá trị $A = frac{1}{2},, + ,,frac{1}{4},, + ,,frac{1}{8},, + ,,frac{1}{{16}},, + ,,frac{1}{{32}},, + ,,frac{1}{{64}}$
Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số trước 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.
Bài giải:
$A = frac{1}{2},, + ,,frac{1}{4},, + ,,frac{1}{8},, + ,,frac{1}{{16}},, + ,,frac{1}{{32}},, + ,,frac{1}{{64}}$ (1)
$2 times A = 2 times left( {frac{1}{2},, + ,,frac{1}{4},, + ,,frac{1}{8},, + ,,frac{1}{{16}},, + ,,frac{1}{{32}},, + ,,frac{1}{{64}}} right)$
$ = frac{2}{2},, + ,,frac{2}{4},, + ,,,frac{2}{8},, + ,,frac{2}{{16}},, + ,,frac{2}{{32}},, + ,,frac{2}{{64}}$
$ = 1,, + ,,frac{1}{2}, + ,,frac{1}{4},, + ,,frac{1}{8},, + ,,frac{1}{{16}},, + ,,frac{1}{{32}},,,$ (2)
Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận thấy ở A và 2 x A có nhiều phân số giống nhau. Nếu ta trừ hai vế cho nhau thì được:
$2 times A - A$= $left( {1,, + ,,frac{1}{2}, + ,,frac{1}{4},, + ,,frac{1}{8},, + ,,frac{1}{{16}},, + ,,frac{1}{{32}},,,} right),, - ,,$$left( {frac{1}{2},, + ,,frac{1}{4},, + ,,frac{1}{8},, + ,,frac{1}{{16}},, + ,,frac{1}{{32}},, + ,,frac{1}{{64}}} right)$
$A = $ 1 - $frac{1}{{64}}$= $frac{{63}}{{64}}$
Ví dụ 2:
Tính $A = frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{{27}} + frac{1}{{81}} + frac{1}{{243}} + frac{1}{{729}}$
Phân tích: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần khi đó ta nhân biểu thức với 3 rồi trừ hai vế để triệt tiêu các phân số ở giữa.
Giải:
Ta có $A = frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{{27}} + frac{1}{{81}} + frac{1}{{243}} + frac{1}{{729}}$
$3 times A = 1 + frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{{27}} + frac{1}{{81}} + frac{1}{{243}}$
Trừ hai vế ta có:
$3 times A - A = (1 + frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{{27}} + frac{1}{{81}} + frac{1}{{243}}) - (frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{{27}} + frac{1}{{81}} + frac{1}{{243}} + frac{1}{{729}})$
$2 times A = 1 - frac{1}{{729}} = frac{{728}}{{729}}$
$A = frac{{728}}{{729}}:2 = frac{{364}}{{729}}$
Ví dụ 3:
Tính giá trị $A = frac{2}{3} + frac{2}{6} + frac{2}{{12}} + frac{2}{{24}} + ..... + frac{2}{{768}}$
Ta thấy mẫu số của phân số sau gấp 2 lần mẫu số của phân số trước.
Ta có $2 times A = 2 times (frac{2}{3} + frac{2}{6} + frac{2}{{12}} + frac{2}{{24}} + .... + frac{2}{{768}})$
$2 times A = frac{4}{3} + frac{2}{3} + frac{2}{6} + frac{2}{{12}} + .... + frac{2}{{384}}$
$2 times A - A = left( {frac{4}{3} + frac{2}{3} + frac{2}{6} + frac{2}{{12}} + .... + frac{2}{{384}}} right) - left( {frac{2}{3} + frac{2}{6} + frac{2}{{12}} + frac{2}{{24}} + .... + frac{2}{{768}}} right)$
$A = frac{4}{3} - frac{2}{{768}} = frac{{511}}{{384}}$
Loại 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu số phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu số phân số liền sau
Phương pháp giải
Tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số. Ta tách như sau:
Ví dụ: $frac{1}{{2 times 3}} = frac{{3 - 2}}{{2 times 3}} = frac{3}{{2 times 3}} - frac{2}{{2 times 3}} = frac{1}{2} - frac{1}{3}$
$frac{2}{{3 times 5}} = frac{{5 - 3}}{{3 times 5}} = frac{5}{{3 times 5}} - frac{3}{{3 times 5}} = frac{1}{3} - frac{1}{5}$
Ví dụ 1:
$A = frac{1}{{2,, times ,,3}},, + ,,frac{1}{{3, times ,4}},, + ,,frac{1}{{4, times ,5}},, + ,frac{1}{{5, times ,6}}$
$A = frac{{3, - ,2}}{{2,, times ,,3}},, + ,,frac{{4, - ,3}}{{3, times ,4}},, + ,,frac{{5, - ,4}}{{4, times ,5}},, + ,frac{{6, - ,5}}{{5, times ,6}}$
= $frac{3}{{2,, times ,,3}},, - ,,frac{2}{{2, times ,3}},, + ,,frac{4}{{3, times ,4}},, - frac{3}{{3, times ,4}} + ,,frac{5}{{4, times ,5}},, - ,,frac{4}{{4, times ,5}} + ,frac{6}{{5, times ,6}},, - ,,frac{5}{{5, times ,6}}$
= $frac{1}{2},, - ,frac{1}{3},, + ,,frac{1}{3},, - ,,frac{1}{4},, + ,,frac{1}{4},, - ,,frac{1}{5},, + ,,frac{1}{5},, - ,frac{1}{6}$
= (frac{1}{2} - frac{1}{3} = frac{1}{6})
Ví dụ 2:
$B = frac{3}{{2 times 5}} + frac{3}{{5 times 8}} + frac{3}{{8 times 11}} + frac{3}{{11 times 14}}$
$B = frac{{5 - 2}}{{2 times 5}} + frac{{8 - 5}}{{5 times 8}} + frac{{11 - 8}}{{8 times 11}} + frac{{14 - 11}}{{11 times 14}}$
$ = frac{5}{{2 times 5}} - frac{2}{{2 times 5}} + frac{8}{{5 times 8}} - frac{5}{{5 times 8}} + frac{{11}}{{8 times 11}} - frac{8}{{8 times 11}} + frac{{14}}{{11 times 14}} - frac{{11}}{{11 times 14}}$
$ = frac{1}{2} - frac{1}{5} + frac{1}{5} - frac{1}{8} + frac{1}{8} - frac{1}{{11}} + frac{1}{{11}} - frac{1}{{14}}$
$ = frac{1}{2} - frac{1}{{14}} = frac{3}{7}$
Bài tập áp dụng
