Trong toán học, bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, còn được gọi là bất đẳng thức AM-GM[a] là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Cauchy vì mặc dù có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng cách chứng minh quy nạp của Cauchy được đánh giá là hiệu quả nhất nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy (phiên âm tiếng Việt: bất đẳng thức Cô-si) có tên là bất đẳng thức AM-GM.
Bất đẳng thức AM-GM có thể được phát biểu như sau:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.- Với 2 số thực không âm a và b:
- Với 3 số thực không âm a, b và c:
- Với n số thực không âm:
Cho n số x1, x2,..., xn ≥ 0 và các hệ số α1, α2,..., αn > 0
Đặt α = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {displaystyle alpha =alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}} .
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:
α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n α ≥ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α {displaystyle {frac {alpha _{1}x_{1}+alpha _{2}x_{2}+cdots +alpha _{n}x_{n}}{alpha }}geq {sqrt[{alpha }]{x_{1}^{alpha _{1}}x_{2}^{alpha _{2}}cdots x_{n}^{alpha _{n}}}}}Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = ⋯ = x n {displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{n}}
Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng
n 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n ≤ x 1 x 2 . . . x n n ≤ x 1 + x 2 + . . . + x n n {displaystyle {frac {n}{{frac {1}{x_{1}}}+{frac {1}{x_{2}}}+...+{frac {1}{x_{n}}}}}leq {sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}leq {frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}Đẳng thức khi và chỉ khi x 1 = x 2 = ⋯ = x n {displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{n}}
Cho hàm số sau:
f ( x , y , z ) = x y + y z + z x 3 {displaystyle f(x,y,z)={frac {x}{y}}+{sqrt {frac {y}{z}}}+{sqrt[{3}]{frac {z}{x}}}}Với x, y và z là các số thực dương. Giả sử rằng ta phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
f ( x , y , z ) {displaystyle f(x,y,z),;} = 6 ⋅ x y + 1 2 y z + 1 2 y z + 1 3 z x 3 + 1 3 z x 3 + 1 3 z x 3 6 {displaystyle =6cdot {frac {{frac {x}{y}}+{frac {1}{2}}{sqrt {frac {y}{z}}}+{frac {1}{2}}{sqrt {frac {y}{z}}}+{frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{frac {z}{x}}}+{frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{frac {z}{x}}}+{frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{frac {z}{x}}}}{6}}} ≥ 6 ⋅ x y ⋅ 1 2 y z ⋅ 1 2 y z ⋅ 1 3 z x 3 ⋅ 1 3 z x 3 ⋅ 1 3 z x 3 6 {displaystyle geq 6cdot {sqrt[{6}]{{frac {x}{y}}cdot {frac {1}{2}}{sqrt {frac {y}{z}}}cdot {frac {1}{2}}{sqrt {frac {y}{z}}}cdot {frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{frac {z}{x}}}cdot {frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{frac {z}{x}}}cdot {frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{frac {z}{x}}}}}} = 6 ⋅ 1 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 x y y z z x 6 {displaystyle =6cdot {sqrt[{6}]{{frac {1}{2cdot 2cdot 3cdot 3cdot 3}}{frac {x}{y}}{frac {y}{z}}{frac {z}{x}}}}} = 2 2 / 3 ⋅ 3 1 / 2 {displaystyle =2^{2/3}cdot 3^{1/2}}Vậy ta có giá trị nhỏ nhất của:
f ( x , y , z ) là 2 2 / 3 ⋅ 3 1 / 2 khi x y = 1 2 y z = 1 3 z x 3 . {displaystyle f(x,y,z){mbox{ là }}2^{2/3}cdot 3^{1/2}quad {mbox{khi}}quad {frac {x}{y}}={frac {1}{2}}{sqrt {frac {y}{z}}}={frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{frac {z}{x}}}.}Đặt:
μ = x 1 + ⋯ + x n n {displaystyle mu ={frac { x_{1}+cdots +x_{n}}{n}}}Với x1,...,xn là các số thực không âm, bất đẳng thức tương đương với :
μ n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n {displaystyle mu ^{n}geq x_{1}x_{2}cdots x_{n},}dấu bằng xảy ra nếu μ = xi với mọi i = 1,...,n.
Chứng minh dưới đây áp dụng phương pháp quy nạp toán học.
Cơ sở: với n = 1 bất đẳng thức đúng.
Giả thiết quy nạp: giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1).
Quy nạp: xét n + 1 số thực không âm. Ta có:
( n + 1 ) μ = x 1 + ⋯ + x n + x n + 1 . {displaystyle (n+1)mu = x_{1}+cdots +x_{n}+x_{n+1}.,}Nếu tất cả các số đều bằng μ, thì ta có đẳng thức và đã được chứng minh. Ngược lại, ta sẽ tìm được ít nhất một số nhỏ hơn μ và một số lớn hơn μ, không mất tính tổng quát, xem rằng: xn > μ và xn+1 < μ. Ta có:
( x n − μ ) ( μ − x n + 1 ) > 0 . ( ∗ ) {displaystyle (x_{n}-mu )(mu -x_{n+1})>0,.qquad (*)}Xét n số sau:
x 1 , … , x n − 1 , x n ′ {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n-1},x_{n}'} với x n ′ = x n + x n + 1 − μ ≥ x n − μ > 0 , {displaystyle x_{n}'=x_{n}+x_{n+1}-mu geq x_{n}-mu >0,,}cũng là số không âm. Từ đó:
n μ = x 1 + ⋯ + x n − 1 + x n + x n + 1 − μ ⏟ = x n ′ , {displaystyle nmu =x_{1}+cdots +x_{n-1}+underbrace {x_{n}+x_{n+1}-mu } _{=,x_{n}'},}μ cũng là trung bình cộng của x 1 , … , x n − 1 , x n ′ {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n-1},x_{n}'} và theo giả thuyết quy nạp ta có:
μ n + 1 = μ n ⋅ μ ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n ′ μ . ( ∗ ∗ ) {displaystyle mu ^{n+1}=mu ^{n}cdot mu geq x_{1}x_{2}cdots x_{n-1}x_{n}'mu .qquad (**)}Mặt khác từ (*) ta có:
( x n + x n + 1 − μ ⏟ = x n ′ ) μ − x n x n + 1 = ( x n − μ ) ( μ − x n + 1 ) > 0 , {displaystyle (underbrace {x_{n}+x_{n+1}-mu } _{=,x_{n}'})mu -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-mu )(mu -x_{n+1})>0,}hay là
x n ′ μ > x n x n + 1 , ( ∗ ∗ ∗ ) {displaystyle x_{n}'mu >x_{n}x_{n+1},,qquad ({*}{*}{*})}hiển nhiên μ > 0. Nếu có ít nhất một trong x1,...,xn−1 bằng không, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng và dấu bằng không xảy ra. Ngược lại, từ (**) và (***) ta có:
μ n + 1 > x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n x n + 1 , {displaystyle mu ^{n+1}>x_{1}x_{2}cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1},,}bất đẳng thức được chứng minh.
Với mọi thực x 1 , x 2 ≥ 0 {displaystyle x_{1},x_{2}geq 0} , ta luôn có:
( x 1 − x 2 ) 2 ≥ 0 ⇔ x 1 − 2 x 1 x 2 + x 2 ≥ 0 ⇔ x 1 + x 2 ≥ 2 x 1 x 2 ⇔ x 1 + x 2 2 ≥ x 1 x 2 {displaystyle ({sqrt {x_{1}}}-{sqrt {x_{2}}})^{2}geq 0Leftrightarrow x_{1}-2{sqrt {x_{1}x_{2}}}+x_{2}geq 0Leftrightarrow x_{1}+x_{2}geq 2{sqrt {x_{1}x_{2}}}Leftrightarrow {frac {x_{1}+x_{2}}{2}}geq {sqrt {x_{1}x_{2}}}}Giả sử
x 1 + x 2 + . . . + x k k ≥ x 1 x 2 . . . x k k {displaystyle {frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}{k}}geq {sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}}Ta có:
x 1 + x 2 + . . . + x k + x k + 1 + x k + 2 + . . . + x 2 k ≥ k x 1 x 2 . . . x k k + k x k + 1 x k + 2 . . . x 2 k k ( 1 ) {displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{2k}geq k{sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k}}}(1)}Áp dụng bất đẳng thức Côsi với trường hợp n = 2 {displaystyle n=2} , ta lại có:
k x 1 x 2 . . . x k k + k x k + 1 x k + 2 . . . x 2 k k ≥ 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k 2 k ( 2 ) {displaystyle k{sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k}}}geq 2k{sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k}}}(2)}Từ ( 1 ) {displaystyle (1)} và ( 2 ) {displaystyle (2)} , ta có được bất đẳng thức:
x 1 + x 2 + . . . + x 2 k ≥ 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k 2 k {displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{2k}geq 2k{sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k}}}} (đpcm)Giả sử
x 1 + x 2 + . . . + x k k ≥ x 1 x 2 . . . x k k {textstyle {frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}{k}}geq {sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}}Ta có:
x 1 + x 2 + . . . + x k + x k + 1 + x k + 2 . . . + x 2 k − 1 + x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 ≥ k x 1 x 2 . . . x k k + k x k + 1 x k + 2 . . . x 2 k − 1 x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 k ( 3 ) {displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+x_{k+2}...+x_{2k-1}+{sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}geq k{sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k-1}{sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}(3)}Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với trường hợp n = 2 {displaystyle n=2} , ta lại có:
k x 1 x 2 . . . x k k + k x k + 1 x k + 2 . . . x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 k ≥ 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 2 k = 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 ( 4 ) {displaystyle k{sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...{sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}geq 2k{sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}{sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}=2k{sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}(4)}Từ ( 3 ) {displaystyle (3)} và ( 4 ) {displaystyle (4)} , ta có:
x 1 + x 2 + . . . + x k + x k + 1 + . . . + x 2 k − 1 + x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 ≥ 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 {displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+...+x_{2k-1}+{sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}geq 2k{sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}Cuối cùng, ta được bất đẳng thức:
x 1 + x 2 . . . + x 2 k − 1 ≥ ( 2 k − 1 ) x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 {displaystyle x_{1}+x_{2}...+x_{2k-1}geq (2k-1){sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}} (đpcm)George Pólya đưa ra một chứng minh cho bất đẳng thức như sau:[2]
Gọi f(x) = ex−1 − x, có đạo hàm f'(x) = ex−1 − 1. Ta thấy f'(1) = 0 và từ đó f có giá trị nhỏ nhất tại f(1) = 0. Từ đó x ≤ ex−1 đối với mọi số thực x.
Xét một dãy các số thực không âm a 1 , a 2 , … , a n {displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{n}} với trung bình cộng μ. Áp dụng bất đẳng thức ở trên ta có:
a 1 μ a 2 μ ⋯ a n μ ≤ e a 1 μ − 1 e a 2 μ − 1 ⋯ e a n μ − 1 = exp ( a 1 μ − 1 + a 2 μ − 1 + ⋯ + a n μ − 1 ) . ( 1 ) {displaystyle {{frac {a_{1}}{mu }}{frac {a_{2}}{mu }}cdots {frac {a_{n}}{mu }}}leq {e^{{frac {a_{1}}{mu }}-1}e^{{frac {a_{2}}{mu }}-1}cdots e^{{frac {a_{n}}{mu }}-1}}=exp left({frac {a_{1}}{mu }}-1+{frac {a_{2}}{mu }}-1+cdots +{frac {a_{n}}{mu }}-1right).qquad (1)}Nhưng số mũ có thể rút gọn thành:
a 1 μ − 1 + a 2 μ − 1 + ⋯ + a n μ − 1 = ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) μ − n = n − n = 0. {displaystyle {frac {a_{1}}{mu }}-1+{frac {a_{2}}{mu }}-1+cdots +{frac {a_{n}}{mu }}-1={frac {(a_{1}+a_{2}+cdots +a_{n})}{mu }}-n=n-n=0.}Trở lại (1),
a 1 a 2 ⋯ a n μ n ≤ e 0 = 1 {displaystyle {frac {a_{1}a_{2}cdots a_{n}}{mu ^{n}}}leq e^{0}=1}và tương đương với:
a 1 a 2 ⋯ a n ≤ μ n ⟹ a 1 a 2 ⋯ a n n ≤ μ . {displaystyle a_{1}a_{2}cdots a_{n}leq mu ^{n}implies {sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}cdots a_{n}}}leq mu .}Nếu tất cả các giá trị bằng nhau:
x 1 = x 2 = ⋯ = x n {displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{n}}tức tổng chúng là nx1, do đó giá trị trung bình cộng là x1; và tích các số dưới căn bậc hai là x1n, do dó giá trị trung bình nhân lúc này là x1; vì vậy, vế một và vế hai bằng nhau, điều phải chứng minh.
Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị trung bình cộng lớn hơn giá trị trung bình nhân. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xảy ra khi n > 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.
Nếu n = 2, tức có hai giá trị x1 và x2, và từ giả thiết ở trên, ta có:
x 1 ≠ x 2 x 1 − x 2 ≠ 0 ( x 1 − x 2 ) 2 > 0 x 1 2 − 2 x 1 x 2 + x 2 2 > 0 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 > 4 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) 2 > 4 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 2 ) 2 > x 1 x 2 x 1 + x 2 2 > x 1 x 2 {displaystyle {begin{aligned}x_{1}&neq x_{2}[3pt]x_{1}-x_{2}&neq 0[3pt]left(x_{1}-x_{2}right)^{2}&>0[3pt]x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&>0[3pt]x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&>4x_{1}x_{2}[3pt]left(x_{1}+x_{2}right)^{2}&>4x_{1}x_{2}[3pt]{Bigl (}{frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{Bigr )}^{2}&>x_{1}x_{2}[3pt]{frac {x_{1}+x_{2}}{2}}&>{sqrt {x_{1}x_{2}}}end{aligned}}} Ta có điều phải chứng minh.Xem xét các trường hợp n = 2 k, với k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.
Trong trường hợp cơ bản, k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.
Khi, có một giá trị k > 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm như vậy, các bước được thực hiện như sau:
x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k = x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 + x 2 k − 1 + 2 + ⋯ + x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 = x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k {displaystyle {begin{aligned}{frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={frac {{frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}[7pt]&geq {frac {{sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}cdots x_{2^{k-1}}}}+{sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}cdots x_{2^{k}}}}}{2}}[7pt]&geq {sqrt {{sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}cdots x_{2^{k-1}}}}{sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}cdots x_{2^{k}}}}}}[7pt]&={sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}cdots x_{2^{k}}}}end{aligned}}}với bất đẳng thức đầu tiên, hai bên đều bằng nhau chỉ khi cả hai điều sau đây là đúng:
x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 k − 1 {displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{2^{k-1}}} x 2 k − 1 + 1 = x 2 k − 1 + 2 = ⋯ = x 2 k {displaystyle x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=cdots =x_{2^{k}}}(Trong trường hợp này, trung bình số học thứ nhất và trung bình nhân thứ 1 bằng x1, và tương tự với trung bình số học thứ hai và trung bình nhân thứ 2); và trong bất đẳng thức thứ hai, Hai bên chỉ bằng nhau nếu hai giá trị trung bình bằng nhau. Vì không phải tất cả hai k đều bằng nhau, không thể cho cả hai bất đẳng thức được đẳng, vì vậy chúng ta biết rằng:
x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k > x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k {displaystyle {frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}cdots x_{2^{k}}}}}(điều phải chứng minh).
Nếu n không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,..., 2k,... không bị chặn trên. Do đó, mà không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.
Vì vậy, nếu ta có n số, thì ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:
x n + 1 = x n + 2 = ⋯ = x m = α . {displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=cdots =x_{m}=alpha .}Sau đó ta có:
⨄ α = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = m n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + m − n n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + ( m − n ) α m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 + ⋯ + x m m > x 1 x 2 ⋯ x n x n + 1 ⋯ x m m = x 1 x 2 ⋯ x n α m − n m , {displaystyle {begin{aligned}biguplus alpha &={frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}}{n}}[6pt]&={frac {{frac {m}{n}}left(x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}right)}{m}}[6pt]&={frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}+{frac {m-n}{n}}left(x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}right)}{m}}[6pt]&={frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}+left(m-nright)alpha }{m}}[6pt]&={frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}+x_{n+1}+cdots +x_{m}}{m}}[6pt]&>{sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}cdots x_{n}x_{n+1}cdots x_{m}}}[6pt]&={sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}cdots x_{n}alpha ^{m-n}}},,end{aligned}}}như vậy:
α m > x 1 x 2 ⋯ x n α m − n α n > x 1 x 2 ⋯ x n α > x 1 x 2 ⋯ x n n {displaystyle {begin{aligned}alpha ^{m}&>x_{1}x_{2}cdots x_{n}alpha ^{m-n}[5pt]alpha ^{n}&>x_{1}x_{2}cdots x_{n}[5pt]alpha &>{sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}cdots x_{n}}}end{aligned}}}Ta suy ra điều phải chứng minh.
- Tổng của một số thực dương và nghịch đảo của nó luôn đạt giá trị tối thiểu là 2.
- Hai số thực dương có tổng không đổi thì tích 2 số đó đạt giá trị lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Hai số thực dương có tích không đổi thì tổng 2 số đó đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất
Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất
Việc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ. Ứng dụng trong Vật lý học để khảo sát công suất cực đại.
- Bất đẳng thức Ky Fan
- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
- Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.
- Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Lưu trữ ngày 14 tháng 10 năm 2017 tại Wayback Machine Paris, 1821 (bằng tiếng Pháp)
